Giáo dục

Phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng

Phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng

Nguyên hàm tích phân là nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình Toán 12 xuất hiện nhiều trong các đề thi. Nhằm giúp các em nắm vững hơn phần kiến thức này, THPT Sóc Trăng đã chia sẻ phương pháp tích phân từng phần hay nhất và nhiều dạng bài tập vận dụng. Bạn tìm hiểu nhé !

I. LÝ THUYẾT VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1. Tích phân từng phần là gì?

Bạn đang xem: Phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng

Trong vi tích phân nói riêng, và trong giải tích toán học nói chung, tích phân từng phần là quá trình tìm tích phân của tích các hàm dựa trên tích phân các đạo hàm và nguyên hàm của chúng. Nó thường được sử dụng để biến đổi nguyên hàm của tích các hàm thành một nguyên hàm mà đáp án có thể được tìm thấy dễ dàng hơn. Quy tắc có thể suy ra bằng cách tích hợp quy tắc nhân của đạo hàm.

Nếu u = u(x) và du = u′(xdx, trong đó v = v(x) và dv = v′(xdx, thì tích phân từng phần phát biểu rằng:

hay gọn hơn:

Có các công thức tổng quát hơn của tích phân từng phần cho tích phân Riemann-Stieltjes và tích phân Lebesgue-Stieltjes. Chuỗi số cũng có mô hình rời rạc tương tự gọi là tổng từng phần.

2. Định lý

Định lý có thể được suy ra như sau. Giả sử u(x) và v(x) là hai hàm khả vi liên tục. Quy tắc nhân phát biểu rằng (theo ký hiệu của Leibniz):

Tích phân cả hai vế đối với x,

sau đó áp dụng định nghĩa của nguyên hàm,

cho ta công thức tích phân từng phần.

Bởi vì du và dv là các vi phân của một hàm một biến x,

Tích phân gốc ∫uv′ dx chứa v′ (đạo hàm của v); để áp dụng định lý, phải tim nguyên hàm v (của v′), và tính tích phân ∫vu′ dx.

II. CÔNG THỨC, CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

Các bước tính tích phân từng phần:

+ Bước 1: Biến đổi tích phân ban đầu về dạng I=int_{a}^{b}{f(x).g(x)dx}.

+ Bước 2: Đặt left{ begin{array}{l}u=f(x)\dv=g(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=f'(x)dx\v=int{g(x)dx}end{array} right. (chọn v là một nguyên hàm củag(x)).

+ Bước 3: Khi đó I=int_{a}^{b}{udv}=uv|_{a}^{b}-int_{a}^{b}{vdu}.

   Thứ tự ưu tiên đặt u: Thứ tự ưu tiên chọn u: Logarit ⟶ đa thức ⟶ Lượng giác = mũ.

Ví dụ:

Cho int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=5 và f(0)=1. Tính I=int_{0}^{2}{f(x)dx}.

    A. I=3.                      B. I=-3.                         C.I=-7.                       D. I=7.

Lời giải:

Đặt left{ begin{array}{l}u=x-2\dv=f'(x)dxend{array} right.Rightarrow left{ begin{array}{l}du=dx\v=f(x)end{array} right..

Ta có 5=int_{0}^{2}{(x-2)f'(x)dx}=(x-2)f(x)|_{0}^{2}-int_{0}^{2}{f(x)dx}=2f(1)-I=2-IRightarrow I=-3.

Chọn B.

III. CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN 

Bài 1: Tính tích phân sau:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giảiCác dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Trên đây THPT Sóc Trăng đã chia sẻ đến quý thầy cô và các bạn học sinh phương pháp tích phân từng phần hay nhất và bài tập vận dụng. Hi vọng, đây sẽ nguồn tư liệu thiết yếu giúp các bạn dạy và học tốt hơn. Cảm ơn các bạn đã đồng hành cùng bài viết ! Xem thêm công thức tính tích phân nữa bạn nhé !

Đăng bởi: THPT Sóc Trăng

Chuyên mục: Giáo dục

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *

Back to top button

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!

Bạn đang dùng trình chặn quảng cáo!